Matriks Matematika

1.   Pengertian Matriks

            Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin         Kelas	Putra	Putri	Jumlah
II Ak 1	28	15	43
II Ak 2	32	10	42
Jumlah	60	25	85

            Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .

Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . .  dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

baris ke-1 baris ke-2

 Contoh :

Kolom   Kolom   Kolom Ke-1      Ke-2      Ke-3

               A =          

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis  atau .

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

2.  Hubungan Matriks Dengan Matriks.

            Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh : 

              A =  dan   B =

              Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama

b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.

2.         Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

    Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =

2. Matriks Kolom

    Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh :  A = 

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

    Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai      jumlah

    baris = jumlah kolom

    Contoh :  A =    ,  jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol

    Matriks Nol adalah Suatu matriks  yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis

    dengan huruf  O.

     Contoh :    =

5. Matriks Segi Tiga

    Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau

    diatas diagonal utama semuanya 0 .

    Contoh  : C =  ,      D =

           Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal

    Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali

    unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

    Contoh  :  E =

7. Matriks Skalar

    Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya

    sama.

    Contoh  :  F =

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

    Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

    diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

     Contoh :  I₃ =         ,  I₄  =

                    

    I₃ adalah matriks identitas ordo 3 dan I₄ adalah matriks identitas ordo 4

9. Matriks Simetris

    Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j

    sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .

    Contoh :  G =

     Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar

      Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

      Contoh :

11. Matriks Tegak

      Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

      Contoh  :  =

12. Matriks Transpos ( notasi A^t )

      Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama

      matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=

      elemen baris ketiga matriks A.

      Misal Matriks A =

      Maka Transpos A adalah A^t = 

      Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

      Sifat-sifat matriks transpos

      1) ( A + B )^t = A^t + B^t

      2) ( A^t )^t = A

      3) ( AB )^t =  B^t A^t

3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.

   

     Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.                          

     Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat

     dijumlahkan atau dikurangkan.

    

     Contoh : Jika A =   dan B =

                   Maka A + B =   =

                             A – B =  =

       Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks

1) A + B = B = A                            ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C)         (Sifat Asosiatif)

3)  A + 0 = 0 + A = A                       (Sifat Identitas tambah)

2.  Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

     

      Jika A suatu ordo m n dan k  suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA

      adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap

      unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut  perkalian skalar.

      Jadi, jika A, maka: kA

      Contoh : Misal A =  maka  3A = 3  =

       Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

       Jika a dan b bilangan real, maka :

1)      ( a + b )A   = aA + bA

2)      a ( A + B ) = aA + aB

3)      a( bA )       = (ab)A

3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)

    Matriks A yang berordo mp dangan suatu matriks B yang berordo pn adalah matriks C

    yang berordo mn.

           A _mp.B _pn = C _mn.

     Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :

     Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

     Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

      Secara umum jika A =    ordo matriks 2 3

                                    B =             ordo matriks 3 2

                                     C = A . B

                                         =           ordo matriks 2 2

                      Dimana

                                       

                                     

                                     

      Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

    Matriks A =

     Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

     samping disebut determinan matriks A.

     Notasi determinan matriks A adalah  atau det A = ad – bc

4.         Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

    Matriks A =

     Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

     samping disebut determinan matriks A.

     Notasi determinan matriks A adalah  atau det A = ad – bc

     Contoh : Jika A = maka det A =

                                                                     =  ( 1)(4) – (2)(-3)

                                                                     =  4 +6

                                                                     =  10

 

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

    Matriks A =

    Cara menentukan det A sebagai berikut :

    Cara 1 : det A = 

                           =

    Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus

                 det A = 

                                                                               

                     -        -       -                +    +         +

                          = 

    3). Invers Matriks Bujur Sangkar

     Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.

    Contoh : Misal A =   dan B =

                   Maka BA =  =  = I

     Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A^-1.Oleh karena BA = I dan B = A^-1 

        maka A^-1A = I

     Jika A =  maka invers A (ditulis A^-1)         

         dan dirumuskan           

     Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

     Matriks  mempunyai invers jika dan hanya jika  (ad – bc)  0.

   Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang

   determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.

    .             Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks

1).   Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan

    Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut

        Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan

D =      =

Dx =     =

Dy  =    =

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan   dan