Barisan dan Deret

1. Notasi Sigma

Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.

                                                                               

Dibaca “jumlah a_k untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah a_k untuk k =1 sampai dengan k = n”

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan. 

1. a_k = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

2. (a_k + b_k) =  a_k + b_k

3. ca_k = c a_k

4. a_k = a_k – p

5. c = (n – m + 1)c

6. a_k + a_k = a_k

7. a_k = 0

8. (a_k + b_k)² = a_k² + 2 a_k b_k + b_k²

1.   Barisan Aritmetika

            Misalkan suatu barisan bilangan adalah U_1, U_2, U_3, U_4, …, U_n-1, U_n.

         Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (U_n) dengan suku sebelumnya (U_n-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).

         Misalkan suku pertama = a, beda b, maka

               U_1,          U_2,             U_3,       ...,           U_n

 

                a,        a + b,  a +  2b, …, a+(n – 1)b    

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :

 

Suku Tengah ( Ut)

Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka    

            terdapat hubungan.

               2b = a + c atau

               2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi

       Contoh :

              -4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena

               2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32

      b.  Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatika,  

           maka terdapat hubungan.

               b + c = a + d atau

               jumlah suku tengah = jumlah suku tepi

       Contoh :

                3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena

                11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23

   Contoh :

 Deret Aritmatika ( Deret Hitung )

       Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U_1, U₂, U₃, …,U_n  adalah barisan aitmatika, maka U₁ + U₂ + U₃ + …,U_n merupaka  deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan S_n.

S_n =  U₁ + U₂ + U₃ + …,U_n

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

 

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

      Misalkan suatu barisan bilangan adalah U_1, U_2, U_3, U_4, …, U_n-1, U_n

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( U_n ) dengan suku sebelumnya ( U_n-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :

    

                   R =

      Dimana  r ≠ 0 atau r ≠ 1

            Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :

               U_1,          U_2,             U_3,       ...,           U_n

 

                a,        ar,         ar² , …     ,ar^{n – 1} 

       Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :

 

                                              

Deret Geometri

            Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.

      Jika U_1, U_2, U_3, U_4, …, U_n-1, U_n adalah barisan geometri, maka U₁ + U₂ + U₃ + …,U_n

        merupaka  deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (S_n)

S_n =  U₁ + U₂ + …, U_n-1 + U_n

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

           

 

4.   Deret Geometri Takhingga

            Jika suatu deret geometri, S_n =  U₁ + U₂ + …, U_n-1 + U_n  dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis  dengan

      S_∞ =  U₁ + U₂ + …, U_n-1 + …

Jika

Jika

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk